【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).(1)求橢圓C的方程;(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a，b，c；

（2）對(duì)于AB有無(wú)斜率進(jìn)行討論，設(shè)出A，B坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算；

試題解析：(1)由右焦點(diǎn)為(,0),則 ,又離心率為,所以 , ，

則

(2) 設(shè) , ,若k存在,則設(shè)直線AB:y=kx+m.

得

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 ， 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), ,可得, 依然成立.所以點(diǎn)O到直線的距離為定值 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對(duì)于任意的， 恒成立，求的取值范圍；

（3）求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)兩處的切線分別為l1，l2．若，且，求實(shí)數(shù)c的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最大值為10，最小值為4，則在區(qū)間上的最大值、最小值分別是( )

A. -4,-10 B. 4,-10

C. 10,4 D. 不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示, 四棱錐底面是直角梯形, 底面, 為的中點(diǎn), .

(Ⅰ)證明: ;

(Ⅱ)證明: ;

(Ⅲ)求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使=成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).

⑴當(dāng)時(shí),求的不動(dòng)點(diǎn);

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論，從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男生30人、女生20人），給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答，選題情況統(tǒng)計(jì)如下表：（單位：人）

立體幾何題

代數(shù)題

總計(jì)

男同學(xué)

22

8

30

女同學(xué)

8

12

20

總計(jì)

30

20

50

（1）能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)？

（2）經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為，且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍，現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯(cuò)的學(xué)生中任意抽取兩人對(duì)他們的答題情況進(jìn)行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【2014山東.理15】已知函數(shù)，對(duì)函數(shù),定義關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)為函數(shù)，滿足：對(duì)于任意，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.

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