Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)Q是圓弧的中點(diǎn)，且點(diǎn)在平面的兩側(cè).

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)點(diǎn)P在平面上的射影為點(diǎn)O，點(diǎn)分別是和的重心，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，回答下列問(wèn)題.

（i）證明：平面；

（ii）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（i）證明見(jiàn)解析（ii）

【解析】

（1）由，可得平面，即可證明；

（2）（i）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，利用平行線分線段成比例可得，即可得得證；

（ii）根據(jù)即可求解.

（1）證明：因?yàn)?/span>是軸截面，

所以平面，所以，

又點(diǎn)P是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且為直徑，

所以，

又，平面，平面，

所以平面，平面，

故平面平面.

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)P為圓弧的中點(diǎn).所以點(diǎn)O為圓弧的中點(diǎn)，

所以四邊形為正方形，且平面.

（i）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，

則，

因?yàn)?/span>分別為三角形的重心，所以，

所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（ii）因?yàn)?/span>平面，

所以，

又，，

所以平面，

因?yàn)?/span>，

所以平面，即平面，即是三棱錐的高.

又，，

所以.