【題目】設,函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)設,若有兩個相異零點,,且,求證:.
【答案】(1)當時,的單調遞增區(qū)間是,無單調遞減區(qū)間;當時,的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求導,分,兩種情況討論導函數(shù)正負,即得解;
(2)由,構造,結論,可轉化為
,構造函數(shù),分析單調性研究單調性,即可證.
(1),,
當時,,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
當時,令,解得,則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間
上是增函數(shù).
綜上得:當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,無單調遞減區(qū)間;
當時,函數(shù)的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是.
(2)由題意得,.
因為,是方程的兩個不同的實數(shù)根,所以
,兩式相減得,解得.
要證:,即證:,即證:,
即證:,
令(因為),則只需證.
設,∴;
令,∴,在上為減函數(shù),
∴,∴,在為增函數(shù),.
即在上恒成立,∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】心理學研究表明,人極易受情緒的影響,某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
(1)在不受情緒的影響下,該選手每局獲勝的概率為;但實際上,如果前一句獲勝的話,此選手該局獲勝的概率可提升到;而如果前一局失利的話,此選手該局獲勝的概率則降為,求該選手在前3局獲勝局數(shù)的分布列及數(shù)學期望;
(2)假設選手的三局比賽結果互不影響,且三局比賽獲勝的概率為,記為銳角的內角,求證:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為.
(1)求C的普通方程和l的傾斜角;
(2)設點,l和C交于A,B兩點,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量(單位:億元)對年銷售額(單位:億元)的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:①,②,其中均為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù),,并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):
(1)設和的相關系數(shù)為,和的相關系數(shù)為,請從相關系數(shù)的角度,選擇一個擬合程度更好的模型;
(2)(i)根據(jù)(1的選擇及表中數(shù)據(jù),建立關于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(ii)若下一年銷售額需達到90億元,預測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元?
附:①相關系數(shù),回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,;
② 參考數(shù)據(jù):,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面,,點是棱的中點,,點是棱上一點,且.
(1)證明:平面;
(2)若,,點在棱上,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的方程為.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.交于,兩點(在軸上方),交極軸于點(異于極點).
(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;
(2)若為的中點,為上的點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,E是AB的中點,F是BC的中點
(1)求證:EF∥平面A1DC1;
(2)若長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為,求點D到平面B1EF的距離.
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