【題目】,函數(shù).

1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

2)設,若有兩個相異零點,,且,求證:.

【答案】1)當時,的單調遞增區(qū)間是,無單調遞減區(qū)間;當時,的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是;(2)證明見解析.

【解析】

1)求導,分,兩種情況討論導函數(shù)正負,即得解;

2)由,構造,結論,可轉化為

,構造函數(shù),分析單調性研究單調性,即可證.

1,

時,,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);

時,令,解得,則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間

上是增函數(shù).

綜上得:當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,無單調遞減區(qū)間;

時,函數(shù)的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間是.

2)由題意得,.

因為,是方程的兩個不同的實數(shù)根,所以

,兩式相減得,解得.

要證:,即證:,即證:

即證:,

(因為),則只需證.

,;

,,上為減函數(shù),

,,為增函數(shù),.

上恒成立,.

練習冊系列答案
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【題目】心理學研究表明,人極易受情緒的影響,某選手參加74勝制的兵乒球比賽.

1)在不受情緒的影響下,該選手每局獲勝的概率為;但實際上,如果前一句獲勝的話,此選手該局獲勝的概率可提升到;而如果前一局失利的話,此選手該局獲勝的概率則降為,求該選手在前3局獲勝局數(shù)的分布列及數(shù)學期望;

2)假設選手的三局比賽結果互不影響,且三局比賽獲勝的概率為,記為銳角的內角,求證:

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現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù),,并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):

(1)設的相關系數(shù)為,的相關系數(shù)為,請從相關系數(shù)的角度,選擇一個擬合程度更好的模型;

(2)(i)根據(jù)(1的選擇及表中數(shù)據(jù),建立關于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);

(ii)若下一年銷售額需達到90億元,預測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元?

附:①相關系數(shù),回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:;

② 參考數(shù)據(jù):,,

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1)證明:平面;

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2)若的中點,上的點,求的最小值.

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