.已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)離心率e=
3
2
，焦點到橢圓上的點的最短距離為2-
3
．
（1）求橢圓的標準方程．
（2）設直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點，當|MN|=
8
2
5
時，求直線l的方程．
分析：（1）由已知得e=
c
a
=
3
2
，a-c=2-
3
，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），由
y=kx+1
x2
4
+y2=1
得（4k2+1）x2+8kx=0．再由根的判別式和韋達定理能求出直線l的方程．
解答：解：（1）由已知得e=
c
a
=
3
2
，
∵a-c=2-
3
，
∴a=2，c=
3

∴橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1…（6分）
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2）
由
y=kx+1
x2
4
+y2=1
得（4k2+1）x2+8kx=0…（8分）
△=64k2，
∵直線l：y=kx+1與橢圓交與M，N兩點，
∴△＞0，x1+x2=
-8k
4k2+1
，x1•x2=0
∴|MN|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
•
8|k|
4k2+1

=
8
2
5
，
∴k=±1，或k=±
14
7
，（10分）
∴直線方程為y=x+1，或y=-x+1，或y=
14
7
x+1，或y=-
14
4
x+1．（14分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），A是橢圓長軸的一個端點，B是橢圓短軸的一個端點，F(xiàn)為橢圓的一個焦點．若AB⊥BF，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
+1
2
B、
5
-1
2
C、
5
+1
4
D、
5
-1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若BF⊥BA，則稱其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1、F2，點B是橢圓短軸的一個端點，且∠F1BF2=90°，則橢圓的離心率e等于
2
2
2
2
．

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