【題目】如圖,在直三棱柱側(cè)棱和底面垂直的棱柱中,平面側(cè)面,,線段AC、上分別有一點(diǎn)E、F且滿足,.
求證:;
求點(diǎn)E到直線的距離;
求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)﹣
【解析】
試題(1)過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D,由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A1BC,由此能證明AB⊥BC.
(2)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點(diǎn)E到直線A1B的距離.
(3)分別求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量,利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值.
(1)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D,
則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,
且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B,
∴AD⊥平面A1BC,
又∵BC平面A1BC,∴AD⊥BC.
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BC.
又∵AA1∩AD=A,∴BC⊥側(cè)面A1ABB1,
又∵AB側(cè)面A1ABB1,∴AB⊥BC.(4分)
(2)解:由(1)知,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),
以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
B(0,0,0),A(0,3,0),C(3,0,0),A1(0,3,3)
∵線段AC、A1B上分別有一點(diǎn)E、F,滿足2AE=EC,2BF=FA1,
∴E(1,2,0),F(0,1,1),
∴,.
∵=0,∴EF⊥BA1,
∴點(diǎn)E到直線A1B的距離.(8分)
(3)解:,
設(shè)平面BEF的法向量,
則,取x=2,得=(2,﹣1,1),
由題意知平面BEC的法向量,
設(shè)二面角F﹣BE﹣C的平面角為θ,
∵θ是鈍角,∴cosθ=﹣|cos<>|=﹣=﹣,
∴二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值為﹣.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù).
①求最大整數(shù)值;
②證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】旅行社為某旅行團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為元.旅行團(tuán)中的每個(gè)人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅行團(tuán)的人數(shù)不超過(guò)人時(shí),飛機(jī)票每張元;若旅行團(tuán)的人數(shù)多于人時(shí),則予以優(yōu)惠,每多人,每個(gè)人的機(jī)票費(fèi)減少元,但旅行團(tuán)的人數(shù)最多不超過(guò)人.設(shè)旅行團(tuán)的人數(shù)為人,飛機(jī)票價(jià)格元,旅行社的利潤(rùn)為元.
(1)寫(xiě)出每張飛機(jī)票價(jià)格元與旅行團(tuán)人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn)?求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù).
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)判斷該高三學(xué)生的記憶力x和判斷力是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);并預(yù)測(cè)判斷力為4的同學(xué)的記憶力.
(參考公式:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)如果、、滿足,那么稱比更靠近.當(dāng)且時(shí),試比較和哪個(gè)更靠近,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范圍.
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