Question

如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求證：AB∥平面CDE；
（2）求實(shí)數(shù)的值，使得二面角AECD的大小為60°．

Answer 1

（1）答案詳見解析；（2）

試題分析：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，最大的優(yōu)點(diǎn)就是避開了傳統(tǒng)立體幾何中“如何添加輔助線”這個(gè)難點(diǎn)，使得操作更模式化、易操作.需根據(jù)已知條件尋找（或添加）三條共點(diǎn)的兩兩垂直的三條垂線，分別作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（1）由已知，以的方向作為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)點(diǎn)，要證明AB∥平面CDE，只需證明垂直于面CDE的法向量即可．本題還可以利用線面垂直的判定定理證明；（2）分別求出面和面的法向量，并求法向量的夾角，利用余弦值等于列方程，求即可．

試題解析：（1）如圖建立空間指教坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
                          2分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，
取時(shí)，                    4分
，又不在平面內(nèi)，所以平面；                       7分
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，取時(shí)，                  9分
又平面的一個(gè)法向量為，              10分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041923643571.png" style="vertical-align:middle;" />的大小為，，
即，解得                      14分
又，所以．                       15分