Question

（2012•綿陽(yáng)二模）已知圓的半徑為1，圓心C在直線l₁：y=

3

2

x上，其坐標(biāo)為整數(shù)，圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長(zhǎng)為

2 15

5

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線l₀：x-y-2=0上，過點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（2a，3a），a∈Z，利用圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長(zhǎng)為

2 15

5

，建立方程(

|2a-9a+9|

10

)2+(

15

5

)2=1，可求a=1，從而可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=

|PC|2-1

，求出|PC|的最小值，即可求得四邊形PACB面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（2a，3a），a∈Z，則由題意，圓C截直線l₂：x-3y+9=0所得的弦長(zhǎng)為

2 15

5

可知：(

|2a-9a+9|

10

)2+(

15

5

)2=1，
解得a=1．
∴所求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-3）²=1．   （4分）
（2）∵CA⊥PA，CB⊥PB，|PA|=|PB|，|AC|=1，
∴S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=

|PC|2-1

．
當(dāng)PC⊥l₀時(shí)，|PC|取得最小值，
∴|PC|_min=

|2-3-2|

2

=

3 2

2

．
∴|PA|_min=

9 2 -1

=

14

2

．
即四邊形PACB面積的最小值為

14

2

． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．