Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足

a

x2+

b

x+

c

=

0

(x∈R)，

b

2=4

a

•

c

，則向量

a

與

b

的關(guān)系是

共線

（填“共線”或“不共線”）．

Answer 1

分析：設(shè)向量的夾角為θ，由已知可得

c

=-(

a

x2+

b

x)代入

b

2=4

a

•

c

整理可得4

a

2x2-4

a

•

b

x+

b

2=0，從而有△=16(

a

•

b

)2-16

a

2

b

2≥0，從而可求夾角θ，可判斷

解答：解：設(shè)向量的夾角為θ
由

a

x2+

b

x+

c

=

0

，x∈R可得

c

=-(

a

x2+

b

x)

b

2=4

a

•

c

=

a

•(-

a

x2+

b

x)×4=-4

a

2x2+4

a

•

b

x
∴4

a

2x2-4

a

•

b

x+

b

2=0，x∈R
∴△=16(

a

•

b

)2-16

a

2

b

2≥0
則|

a

|2|

b

|2cos2θ≥|

a

|2|

b

|2
∴cos²θ≥1
結(jié)合-1≤cosθ≤1可知cos²θ=1
從而可得向量的夾角θ=0或θ=π，從而可得

a

，

b

共線
故答案為共線

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，屬于向量知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用