Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）,（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減,若，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．若，在上單調(diào)遞增．（3）.

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫切線過程. 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/de/7/1xeo83.png" style="vertical-align:middle;" />，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即．（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，關(guān)鍵明確導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與定義域的關(guān)系，正確判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào). 當(dāng)時(shí)，,,當(dāng)時(shí),若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性問題，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4a/7/bkvxm.png" style="vertical-align:middle;" />，等價(jià)于.令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”. 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因此.
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/de/7/1xeo83.png" style="vertical-align:middle;" />，．   1分
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，．
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．         4分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/f/ud3mh1.png" style="vertical-align:middle;" />．
1.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減．     5分
2.當(dāng)時(shí)，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；      6分
由，即，得．         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為