Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）設m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）試證明：對?n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數，∴，令f′（x）=0，得x²=1-lnx，顯然x=1是此方程的解；
令g（x）=x²+lnx-1，其中x∈（0，+∞），則；
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，
∴當x=1時，函數有最大值f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
故①當0＜2m≤1，即時，f（x）在[m，2m]上單調遞增，；
②當m≥1時，f（x）在[m，2m]上單調遞減，；
③當m＜1＜2m，即時，f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（1）=-1，
∴在（0，+∞）上恒有，當且僅當x=1時“=”成立，
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）；
∵，∴，
即對?n∈N^*，不等式恒成立．
分析：（Ⅰ）由函數，得f′（x），令f′（x）=0，得此方程的解；從而求得函數f（x）的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
故①當0＜2m≤1，即時，f（x）在[m，2m]上單調遞增，最大值是f（2m）；
②當m≥1時，f（x）在[m，2m]上單調遞減，最大值是f（m）；
③當m＜1＜2m，即時，最大值是f（1）．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（1）=-1，即在（0，+∞）上，恒有，當且僅當x=1時“=”成立，即是恒有l(wèi)nx≤x（x-1）；由于，∴，即證．
點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性求得函數的最值問題，也考查了利用函數證明不等式恒成立的問題，屬于較難的題目．