Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a₅=-2
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=

1

n(10-an)

(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，均有Tn＞

m

32

成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可由等差數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a₅=-2結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式形式求出；
（II）先化簡出bn=

1

n(10-an)

(n∈N*)，可變?yōu)?span id="n5j7plj" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)幫其前n和可用裂項(xiàng)法求和，求出T_n，再由不等式Tn＞

m

32

恒成立，即可得到

n

n+1

＞

m

16

恒成立，求出m的取值范圍即可得到m最大的整數(shù)．

解答：解：（1）由題意{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d
由題意得-2=6+4d?d=-2，
∴a_n=6+（n-1）（-2）=8-2n．
（2）∵b_n=

1

n(10-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

n

2(n+1)

若T_n＞

m

32

對(duì)任意n∈N+成立，即

n

n+1

＞

m

16

對(duì)任意n∈N+成立
∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，
∴

m

16

＜

1

2

，
∴m的最大整數(shù)值是7．
即存在最大整數(shù)m=7，使對(duì)任意n∈N^*，均有T_n＞

m

32

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的恒成立問題做出函數(shù)的最小值，然后進(jìn)行運(yùn)算．