【題目】橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上, 、分別為上、下焦點(diǎn),橢圓的離心率為, 為橢圓上一點(diǎn)且

(1)若的面積為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若的延長(zhǎng)線與橢圓另一交點(diǎn)為,以為直徑的圓過點(diǎn), 為橢圓上動(dòng)點(diǎn),求的范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:1)根據(jù)與橢圓的對(duì)稱性可得為橢圓的左、右頂點(diǎn),再由題設(shè)條件列出方程組,即可求出橢圓的方程;2)由離心率得出之間的關(guān)系,由為直徑的圓過點(diǎn),可得點(diǎn)橫坐標(biāo),再根據(jù)三點(diǎn)共線,求出點(diǎn)縱坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程化簡(jiǎn)可求出的值,即可得到橢圓方程,設(shè)點(diǎn),根據(jù)向量坐標(biāo)表示出,根據(jù)取值范圍即可求出的范圍.

試題解析:(1)由橢圓的對(duì)稱性可知, 為橢圓的左、右頂點(diǎn),可設(shè),

解得

(2)橢圓的離心率為 ,則, , ,

∵以為直徑的圓過點(diǎn),∴

又∵的延長(zhǎng)線與橢圓另一交點(diǎn)為,則、、三點(diǎn)共線,

,∴,

, ,

又∵在橢圓中,則代入橢圓方程有, ,

設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn),則, ,

, ,

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