精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設奇函數f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數列{an}是等差數列嗎？請給予證明．
分析：（1）根據f(x)=f(x-1)+
1
2
，且f（x）是奇函數，將
1
2
代入，可求f(
1
2
)的值，再結合奇函數得到f(x)+f(1-x)=
1
2
．令x=
k
n
，即可求得結論；
（2）利用倒序相加法結合第一問的結論，求出Sn，進而求出數列{an}的通項公式，再根據定義即可證得數列{an}是等差數列．
解答：解：（1）∵f(x)=f(x-1)+
1
2
，且f（x）是奇函數
∴f(
1
2
)=f(
1
2
-1)+
1
2
=f(-
1
2
)+
1
2
=-f(
1
2
)+
1
2

∴2f(
1
2
)=
1
2
，故f(
1
2
)=
1
4
（3分）
因為f(x)=f(x-1)+
1
2
=-f(1-x)+
1
2
，所以f(x)+f(1-x)=
1
2
．
令x=
k
n
，得f(
k
n
)+f(1-
k
n
)=
1
2
，即f(
k
n
)+f(
n-k
n
)=
1
2
．（6分）
（2）令sn=f(0)+f(
1
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
又sn=f(1)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
兩式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．
所以sn=
n+1
4
，（6分）
故an=sn-f(
1
2
)=
n+1
4
-
1
4
=
n
4
，n∈N*（10分）
又an+1-an=
n+1
4
-
n
4
=
1
4
．故數列{an}是等差數列．（12分）
點評：本題主要考查數列與不等式的綜合問題．解決本題第一問的關鍵在于利用奇函數的性質得到f(x)+f(1-x)=
1
2
．而解決第二問的關鍵在于用到了倒序相加求和．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問：在-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=loga（1-x），g（x）=loga（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）-g（x），判斷函數F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關于x的方程g（m+2x-x2）=f（x）有實數根，求實數m的范圍；
（Ⅲ）當a＞1時，不等式f（n-x）＞
12
g（x）對任意x∈[0，1]恒成立，求實數n的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）若f（1）=-2，試問在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果沒有，說出理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設奇函數f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1．當x∈[-1，1]時，函數f（x）≤t2-2at+1，對一切a∈[-1，1]恒成立，則實數t的取值范圍為（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案