【題目】平面上有n個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，任意兩點(diǎn)之間連一條線段，并將每條線段染為紅色與藍(lán)色之一，稱三邊顏色相同的三角形為“同色三角形”．記同色三角形的個(gè)數(shù)為S．

（1）若，對(duì)于所有可能的染法，求S的最小值；

（2）若（整數(shù)），對(duì)于所有可能的染法，求S的最小值．

【答案】

【解析】

對(duì)于（），統(tǒng)一證明：S的最小值為．

因?yàn)楣灿?/span>個(gè)三角形，所以，非同色三角形有個(gè)．

稱兩條鄰邊（有一個(gè)公共點(diǎn)）同色的角為同色角．

接下來計(jì)算同色角的個(gè)數(shù)．

一方面，同色角的個(gè)數(shù)為

．

另一方面，對(duì)于每個(gè)點(diǎn)A，由點(diǎn)A引出的條邊中，若一種顏色的邊有i條，則另一種顏色的邊有（）條．

于是，以A為頂點(diǎn)的同色角的個(gè)數(shù)為，

其中，當(dāng)，1時(shí)，．

設(shè)．

從而，當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)下降．

則以A為頂點(diǎn)的同色角的個(gè)數(shù)至少為．

故．

下面的例子說明為S的最小值．

設(shè)這2k個(gè)點(diǎn)分別為．

將兩兩之間的連線染為紅色，兩兩之間的連線染為紅色．對(duì)于所有i、，將、之間的連線染為藍(lán)色，則不存在藍(lán)色三角形，且以中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形均為紅色三角形，以中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形均為紅色三角形．

因此，同色三角形的個(gè)數(shù)為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨機(jī)抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績（他們的英語成績都在80分140分之間），將他們的英語成績（單位：分）分成：，，，，六組，得到如圖所示的部分頻率分布直方圖，已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù)，根據(jù)圖中的信息，回答下列問題：

（1）求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和；

（2）求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差；

（3）用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任選2人，記這2人中成績低于130分的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示是一個(gè)幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)證明：BD∥平面PEC；

(3)線段BC上是否存在點(diǎn)M，使得AE⊥PM？若存在，請(qǐng)說明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線橢圓于另一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】人的正常體溫在至之間，下圖是一位病人在治療期間的體溫變化圖.

現(xiàn)有下述四個(gè)結(jié)論：

①此病人已明顯好轉(zhuǎn)；

②治療期間的體溫極差小于；

③從每8小時(shí)的變化來看，25日0時(shí)~8時(shí)體溫最穩(wěn)定；

④從3月22日8時(shí)開始，每8小時(shí)量一次體溫，若體溫不低于就服用退燒藥，根據(jù)圖中信息可知該病人服用了3次退燒藥.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）

A.③④B.②③C.①②④D.①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，且．

（1）求A；

（2）求面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2+2alnx.

(1)若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】為增強(qiáng)市民交通規(guī)范意識(shí),我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示．

分組（單位：歲）

頻數(shù)

頻率

5

①

②

合計(jì)

（1）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖）,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù)；

（2）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機(jī)的交通意識(shí)”培訓(xùn)活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：一個(gè)袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎(jiǎng)勵(lì)元；共兩只球都是綠色，則獎(jiǎng)勵(lì)元；若兩只球顏色不同，則不獎(jiǎng)勵(lì)．

（1）求一名顧客在一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得元的概率；

（2）記為兩名顧客參與該摸獎(jiǎng)活動(dòng)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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