Question

【題目】給出下列四個命題：
①f（x）=x3﹣3x2是增函數(shù)，無極值．
②f（x）=x3﹣3x2在（﹣∞，2）上沒有最大值
③由曲線y=x，y=x2所圍成圖形的面積是
④函數(shù)f（x）=lnx+ax存在與直線2x﹣y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2）
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：對于①，∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴x=0時f（x）有極大值，x=2時f（x）有極小值，∴①錯誤．
對于②，由①知，當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=0時f（x）有極大值f（0），也是最大值，∴②錯誤．
對于③，∵ ，解得 ，或 ；
∴由曲線y=x，y=x2所圍成圖形的面積
S= （x﹣x2）dx=（ x2﹣ x3） = ﹣ = ，∴③正確．
對于④，∵f′（x）= +a=2（x＞0），∴a=2﹣ ＜0；
∴a的取值范圍是（﹣∞，2），
又當a=2﹣ 時，f（x）的一條切線方程為2x﹣y=0，∴④錯誤．
綜上，以上正確的命題為③．
故選：A．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．