Question

19．在△ABC中，$B（{\sqrt{3}，0}）$、$C（{-\sqrt{3}，0}）$，動(dòng)點(diǎn)A滿足$|AC|+|AB|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|BC|$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡D的方程；
（2）若點(diǎn)$P（{\frac{1}{2}，\frac{1}{4}}）$，經(jīng)過點(diǎn)P作一條直線l與軌跡D相交于點(diǎn)M，N，并且P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）確定動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡D的方程；
（2）利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）$|AC|+|AB|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}|BC|$=4＞2$\sqrt{3}$，
∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴動(dòng)點(diǎn)A的軌跡D的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，y₁+y₂=$\frac{1}{2}$，
M，N代入橢圓方程，相減整理可得k_MN=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為y=$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．