Question

如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為N函數(shù).
例如：就是N函數(shù).
（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結(jié)果）；
（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為N函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).
（注：“”表示不超過的最大整數(shù)）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函數(shù)；（Ⅲ）略

試題分析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032439884348.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù) 。的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032439884348.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù)。當(dāng)時(shí)，所以是N函數(shù)。（Ⅱ）因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032440055308.png" style="vertical-align:middle;" />”表示不超過的最大整數(shù)，所以。設(shè)，則，所以，解得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032440477677.png" style="vertical-align:middle;" />所以在一定存在正整數(shù)，即存在滿足（Ⅲ）需對(duì)實(shí)數(shù)在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論。若為負(fù)時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)有最大值時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)的值是正數(shù)但不能取到所有正數(shù)時(shí)，函數(shù)不是N函數(shù)。
試題解析：解：（Ⅰ）只有是N函數(shù).                   3分
（Ⅱ）函數(shù)是N函數(shù).
證明如下：
顯然，，.                 4分
不妨設(shè),
由可得，
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032440820554.png" style="vertical-align:middle;" />，恒有成立，
所以一定存在，滿足，
所以設(shè)，總存在滿足，
所以函數(shù)是N函數(shù).                    8分
（Ⅲ）（1）當(dāng)時(shí)，有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).                 9分
（2）當(dāng)時(shí)，① 若，有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).       10分
② 若，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，
所以，都有
所以函數(shù)都不是N函數(shù).        11分
③ 若，令，則，
所以一定存在正整數(shù)使得 ，
所以，使得，
所以.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以；
當(dāng)時(shí)，,所以，
所以，都有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).      13分
綜上所述，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).