Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定義域為D，若所有點（s，f（x））（s，t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則a的值為

 

．

Answer 1

分析：由所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)域知，函數(shù)的定義域與值域的區(qū)間長度相等，利用二次函數(shù)的最值與二次方程的根，建立a，b，c關(guān)系式，求得答案．

解答：解：設(shè)函數(shù)u=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標為：x₁，x₂，x₁＜x₂
∵s為定義域的兩個端點之間的部分，
就是[x₁，x₂]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）_max]，
且所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)
∴|x₁-x₂|=

umax

∵|x₁-x₂|=

2 b2-4ac

2a

=

4ac-b2 4a

∴

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4a

∴a=-4
故答案為：-4

點評：本題借助二次函數(shù)及二次方程的有關(guān)性質(zhì)，探討函數(shù)的定義域和值域問題，注意二次函數(shù)的開口方向，形式比較新穎，是個中檔題．