【題目】已知圓C: ,直線l過點.

1)若直線l與圓心C的距離為1,求直線l的方程;

2)若直線l與圓C交于M,N兩點,且,求以MN為直徑的圓的方程;

3)設直線與圓C交于A,B兩點,是否存在實數(shù)a,使得直線l垂直平分弦AB?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,說明理由

【答案】1.23)不存在,見解析

【解析】

(1)分類討論,斜率存在時根據(jù)圓心到直線的距離為1列出方程即可求得斜率,斜率不存在時驗證是否滿足條件即可;(2)由弦心距推出P為弦MN的中點即可求得圓的方程;(3) 由直線與圓相交推出弦心距小于圓的半徑求出a的范圍,假設存在a使得l垂直平分弦AB,則,即可求出a.

解:(1)當直線l的斜率存在時,設斜率為k,則l的方程為

又圓C的圓心為,半徑,由,解得

所以直線l的方程為,即.

l的斜率不存在時,l的方程為,經(jīng)驗證也滿足條件.

所以直線l的方程為.

2)由于,而弦心距,

所以,所以P為弦MN的中點,

故以MN為直徑的圓Q的方程為.

3)直線與圓C交于A,B兩點,

則弦心距小于圓的半徑,即,化簡得.

設符合條件的實數(shù)a存在,由于l垂直平分弦AB,故直線l過圓心

所以l的斜率,而,所以.

由于,故不存在實數(shù)a,使得過點的直線l垂直平分弦AB.

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x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

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