已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=
1
2
(1-an)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式,并比較sn
1
2
的大小;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=log
1
3
x
,令bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),求數(shù)列{
1
bn
}
的前n項和Tn
分析:(1)根據(jù)an=Sn-Sn-1,代入題設(shè),整理得
an
an-1
=
1
3
進(jìn)而可知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比是
1
3
,再根據(jù)S1=a1求得a1,進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得an,把an代入Sn=
1
2
(1-an)中得
1
2
(1-(
1
3
n),根據(jù)1-(
1
3
n<1,答案可得.
(2)把an代入bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),化簡整理求得bn,進(jìn)而可得
1
bn
,最后用裂項法求得Tn
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)n≥2時,an=
1
2
(1-an)-
1
2
(1-an-1)=-
1
2
an+
1
2
an-1,
2an=-an+an-1,.∴
an
an-1
=
1
3
,由S1=a1=
1
2
(1-a1)得a1=
1
3

∴數(shù)列{an}是首項a1=
1
3
公比為
1
3
的等比數(shù)列
an=
1
3
×(
1
3
n-1=(
1
3
n
由Sn=
1
2
(1-an)=
1
2
(1-(
1
3
n
∵1-(
1
3
n<1
1
2
(1-(
1
3
n)<
1
2

∴sn
1
2

(Ⅱ)f(x)=log
1
3
x
,
∴bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)=log
1
3
(a1a2an
=log
1
3
1
3
1+2+…n=
n(n+1)
2

1
bn
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1

∴Tn=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=
2n
n+1
點評:本題主要考查了數(shù)列的遞推式.考查了用裂項法對數(shù)列進(jìn)行求和.
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