Question

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實例．

Answer 1

分析：（1）特值法，結(jié)合問題對a、b取特值即可求解；
（2）特值法，令a=x，b=-x即可獲得f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而問題即可獲得求解；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明，注意條件對任意x＞0，g（x）＞1的利用，同時用定義時既可采用做差法也可采用做商法；
（4）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性在基本初等函數(shù)中尋找實例即可．

解答：解：（1）令a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0）?f（0）=0
g（0）=g（0）•g（0）?g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，則g（x）=0，與條件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，則不需要檢驗）
（2）f（x）的定義域為R，關(guān)于數(shù)0對稱，
令a=x，b=-x，則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
（3）當(dāng)x＜0時，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）•g（-x）=g（0）=1?0＜g（x）＜1
故?x∈R，g（x）＞0
證法一：設(shè)x₁，x₂為R上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，g（x₁-x₂）＜lg（x₁）-g（x₂）
=g[（x₁-x₂）+x₂]-g（x₂）=[g（x₁-x₂）-1]•g（x₂）＜0．
故g（x）為R上的增函數(shù)．
證法二：設(shè)x₁，x₂為R上任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，

g(x1)

g(x2)

=

g[(x1-x2)+x2]

g(x2)

=g(x1-x2)＜1
∴g（x）為R上的增函數(shù)．
（4）f（x）=2x；g（x）=2^x．

點評：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性等性質(zhì)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了特值的思想、做差的方法、做商的方法以及對基本初等函數(shù)的理解及應(yīng)用．值得同學(xué)們體會反思．