Question

（05年遼寧卷）（12分）

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且．設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)．

         （Ⅰ）用、、表示m；

         （Ⅱ）證明：當(dāng)，；

（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系．

Answer 1

解析：（Ⅰ）                                               ……2分

   （Ⅱ）證明：令

        因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090419/20090419143057003.gif' width=40>遞減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).

所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即            ……6分

 

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

        對(duì)任意成立的充要條件是

       

       另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

       于是的充要條件是                             ……10分

       綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

                                                  ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.  ……12分

 

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

   對(duì)任意成立的充要條件是

                                            ……8分

       令，于是對(duì)任意成立的充要條件是

        由

       當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即                ………10分

       綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

                                ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

                         ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系. ……12分