【2012高考真題湖南理21】(本小題滿分13分)

在直角坐標系xOy中,曲線C1的點均在C2:(x-5)2+y2=9外,且對C1上任意一點M,M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.

(Ⅰ)求曲線C1的方程;

(Ⅱ)設(shè)P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點,過P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1相交于點A,B和C,D.證明:當P在直線x=﹣4上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值.

(Ⅰ)解法1 :設(shè)M的坐標為,由已知得

,

易知圓上的點位于直線的右側(cè).于是,所以

.

化簡得曲線的方程為.

解法2 :由題設(shè)知,曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點,直線為準線的拋物線,故其方程為.

(Ⅱ)當點P在直線上運動時,P的坐標為,又,則過P且與圓

相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點,切線方程為.于是

整理得

        ①

設(shè)過P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程①的兩個實根,故

      ②

     ③

設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標分別為,則是方程③的兩個實根,所以

    ④

同理可得

     ⑤

于是由②,④,⑤三式得

.

所以,當P在直線上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400.

【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程;第二問設(shè)出切線方程,把直線與曲線方程聯(lián)立,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到四點縱坐標之積為定值,體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

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