如圖,在凸四邊形ABCD中,C,D為定點,CD=
3
,A,B為動點,滿足AB=BC=DA=1.
(Ⅰ)寫出cosC與cosA的關(guān)系式;
(Ⅱ)設(shè)△BCD和△ABD的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值.
(Ⅰ)連接BD,
∵CD=
3
,AB=BC=DA=1,
∴在△BCD中,利用余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=4-2
3
cosC;
在△ABD中,BD2=2-2cosA,
∴4-2
3
cosC=2-2cosA,
則cosA=
3
cosC-1;
(Ⅱ)S=
1
2
BC•CD•sinC=
3
2
sinC,T=
1
2
AB•ADsinA=
1
2
sinA,
∵cosA=
3
cosC-1,
∴S2+T2=
3
4
sin2C+
1
4
sin2A=
3
4
(1-cos2C)+
1
4
(1-cos2A)=-
3
2
cos2C+
3
2
cosC+
3
4
=-
3
2
(cosC-
3
6
2+
7
8
,
∵cosA=
3
cosC-1>0,即cosC>
3
2
,
∴C∈(30°,90°),∴cosC∈(0,
3
2
),
則當(dāng)cosC=
3
6
時,S2+T2有最大值
7
8
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5

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3
)
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2
)
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3
3
)
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