Question

有一個(gè)翻硬幣游戲，開(kāi)始時(shí)硬幣正面朝上，然后擲骰子根據(jù)下列①、②、③的規(guī)則翻動(dòng)硬幣：①骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不翻動(dòng)硬幣；②出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)時(shí)，翻動(dòng)一下硬幣，使另一面朝上；③出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，如果硬幣正面朝上，則不翻動(dòng)硬幣；否則，翻動(dòng)硬幣，使正面朝上。按以上規(guī)則，在骰子擲了n次后，硬幣仍然正面朝上的概率記為P_n。
（1）求證：n∈N*，點(diǎn)（P_n，P_n+1）恒在過(guò)定點(diǎn)斜率為-的直線(xiàn)上；
（2）求數(shù)列{P_n}的通項(xiàng)公式P_n；
（3）用記號(hào)S_n→m表示數(shù)列{P_n-}從第n項(xiàng)到第m項(xiàng)之和，那么對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，求數(shù)列S_1→k，S_k+1→2k，…S_{（n-1）k+1→nk}的前n項(xiàng)和T_n。

Answer 1

解：（1）設(shè)把骰子擲了n+1次，硬幣仍然正面朝上的概率為P_n+1，此時(shí)有兩種情況：
①第n次硬幣正面朝上，其概率為P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，硬幣不動(dòng)，其概率為
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為。
②第n次硬幣反面朝上，其概率為1-P_n，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)或6點(diǎn)，其概率為
因此，此種情況下產(chǎn)生硬幣正面朝上的概率為。
∴
變形得
∴，點(diǎn)恒在過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)上。
（2）
又由（1）知
∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
∴
故所求通項(xiàng)公式為
。
（3）由（2）知，是首項(xiàng)
公比為等比數(shù)列
又∵是常數(shù)
∴也成等比數(shù)列
且
從而
。