Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（3）若m＞0，函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，易知f（x）在（-∞，0）上遞減，有f（x）＞f（0）=3，再有給出的定義判斷；
（2）由函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，結合定義則有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再轉化為-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立分別求得[-4•2x-(

1

2

)x]max  和[2•2x-(

1

2

)x]min即可；
（3）據題意先研究函數g（x）在[0，1]上的單調性，確定函數g（x）的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據上界的定義，T（m）不小于最大值，從而解決．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域為（3，+∞）故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函數f（x）在（-∞，1）上不是有界函數．（4分）
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立（6）
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min（7分）
設2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞）得t≥1，
設1≤t₁＜t₂，h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0
所以h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1
所以實數a的取值范圍為[-5，1]．（10分）
（3）g(x)=-1+

2

m•2x+1

，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上遞減，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-2m

1+2m

≤g(x)≤

1-m

1+m

（13分）
①當|

1-m

1+m

|≥|

1-2m

1+2m

|，即m∈(0，

2

2

]時，|g(x)|≤|

1-m

1+m

|，（12分）
此時T(m)≥|

1-m

1+m

|，（14分）
②當|

1-m

1+m

|＜|

1-2m

1+2m

|，即m∈[

2

2

，+∞)時，|g(x)|≤|

1-2m

1+2m

|，
此時T(m)≥|

1-2m

1+2m

|，
綜上所述，當m∈(0，

2

2

]時，T（m）的取值范圍是[|

1-m

1+m

|，+∞)；
當m∈[

2

2

，+∞)時，T（m）的取值范圍是[

1-2m

1+2m

，+∞）（16分）

點評：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．