【題目】在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,曲線C的方程為;以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,斜率為的直線l經(jīng)過點(diǎn)M.
(I)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程:
(II)若P為曲線C上任意一點(diǎn),直線l和曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.
【答案】(1)直線方程為y=﹣x+3,曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+(y﹣1)2=2;(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式得到直線方程為y=﹣x+3,曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+(y﹣1)2=2;(2)由圖像的到圓上的點(diǎn)到直線L的距離最大值為,再計(jì)算弦長即三角形的底邊長,進(jìn)而得到面積。
解析:
(1)∵在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
∴x=3cos=0,y=3sin=3,
∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,3),
∴直線方程為y=﹣x+3,
由,得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2x﹣2y=0,
即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
(2)圓心(1,1)到直線y=﹣x+3的距離,
∴圓上的點(diǎn)到直線L的距離最大值為,
而弦
∴△PAB面積的最大值為。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠從今年一月起,若不改善生產(chǎn)環(huán)境,按生產(chǎn)現(xiàn)狀,每月收入為70萬元,同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰,第一個(gè)月罰3萬元,以后每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本.據(jù)測算,添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間個(gè)月的二次函數(shù)(是常數(shù)),且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬,從第6個(gè)月開始,每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同.同時(shí),該廠不但不受處罰,而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵(lì)100萬元.
(1)求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入的值;
(2)問經(jīng)過多少個(gè)月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知四棱錐中, 平面,底面是菱形,且. , 、的中點(diǎn)分別為, .
(Ⅰ)求證.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得平行于平面?若存在,指出在上的位置并給予證明,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知定圓,定直線,過的一條動直線與直線相交于,與圓相交于,兩點(diǎn),是中點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)與垂直時(shí),求證:過圓心;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(Ⅲ)設(shè),試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將y=sinx的圖象
A. 向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
B. 向左平移至個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變
C. 向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>,縱坐標(biāo)不變
D. 向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,M,N分別為的中點(diǎn).
(1)證明:直線MN//平面CAB1;
(2)若四邊形ABB1A1是菱形,且, ,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】讀下列各題所給的程序,依據(jù)程序畫出程序框圖,并說明其功能:
(1)INPUT “x=”;x
IF x>1 OR x<-1 THEN
y=1
ELSE y=0
END IF
PRINE y
END
(2)INPUT “輸入三個(gè)正數(shù)a,b,c=”;a,b,c
IF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN
p=(a+b+c)/2
S=SQR(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
PRINT “三角形的面積S=”S
ELSE
PRINT “構(gòu)不成三角形”
END IF
END
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測得一輪船在島北偏東30°,俯角為30°的B處,到11時(shí)10分又測得該船在島北偏西60°,俯角為60°的C處.
(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米?
(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的對稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且點(diǎn)在該橢圓上。
(I)求橢圓C的方程;
(II)過橢圓C的左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn),若的面積為,求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程。
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