Question

已知兩圓Q₁：（x+1）²+y²=

5

4

和Q₂：（x-1）²+y²=

45

4

，動(dòng)圓P與⊙O₁外切，且與⊙O₂內(nèi)切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（5，0）作直線l與點(diǎn)P的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，試推斷是否存在直線l，使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件中，兩圓Q₁：（x+1）²+y²=

5

4

和Q₂：（x-1）²+y²=

45

4

，動(dòng)圓P與⊙O₁外切，且與⊙O₂內(nèi)切．易得動(dòng)圓圓心P到已知兩圓圓心的距離和為定值，即動(dòng)圓圓心P的軌跡是一個(gè)橢圓，根據(jù)已知條件求出a，b值，即可確定動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．
（2）我們可以假設(shè)這樣的直線存在，由其經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（5，0），故可以設(shè)出其點(diǎn)斜式方程，然后經(jīng)過(guò)推理得到矛盾，即說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在這樣的直線．

解答：解：（Ⅰ）由已知，點(diǎn)O₁（-1，0），O₂（1，0），r1=

5

2

，r2=

3 5

2

，則
|O₁O₂|=2＜r₂-r₁，所以⊙O₁內(nèi)含于⊙O₂．
設(shè)圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與⊙O₁外切，且與⊙O₂內(nèi)切，則
|PO1|+|PO2|=(r1+r)+(r2+r)=r1+r2=2

5

．
所以動(dòng)圓圓心P軌跡是以點(diǎn)O₁O₂為焦點(diǎn)的橢圓
因?yàn)閍=

5

，c=1，所以b²=a²-c²=4．
故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是

x2

5

+

y2

4

=1
（Ⅱ）因?yàn)橹本�x=5與橢圓無(wú)交點(diǎn)，可設(shè)直線l方程為y=k（x-5）．
由

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得4x²+5k²（x-5）²=20，即（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），則
x0=

x1+x2

2

=

25k2

5k2+4

，y₀=k（x₀-5）=k(

25k2

5k2+4

-5)=．
若線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂，則CO₂⊥l，即k•kCO2=-1
所以

-20k 5k2+4

25k2 5k2+4 -1

=

-20k2

20k2-4

=-1，即4=0，矛盾！
故不存在直線l使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的方程、橢圓的性質(zhì)及橢圓與直線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件中未知圓與已知圓的位置關(guān)系，結(jié)合“圓的位置關(guān)系與半徑及圓心距的關(guān)系”，探究出動(dòng)圓圓心P的軌跡，進(jìn)而給出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．