Question

當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)命題P：函數(shù)f(x)=x+

a

x

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增；命題Q：不等式x²+ax+1＞0對(duì)任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a≤1
• B、1≤a＜2
• C、0≤a≤2
• D、0＜a＜1或a≥2

Answer 1

分析：題中條件：““P且Q”是真命題”，說(shuō)明P且Q都是真，分別利用導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立求出P是真，求出a的取值范圍；Q是真時(shí)利用二次方程的根的判別式，求出a的取值范圍．最后求出交集即得．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=x+

a

x

在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增；
∴f′（x）≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴1-

a

x2

≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
即a≤x²在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴a≤1．且a＞0…①
又不等式x²+ax+1＞0對(duì)任意x∈R都成立，
∴△=a²-4＜0，
∴-2＜a＜2…②
若“P且Q”是真命題，
則P且Q都是真命題，故由①②的交集得：0＜a≤1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、邏輯連接詞“且”的應(yīng)用、不等式的恒成立等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．不含邏輯連接詞的命題，叫做簡(jiǎn)單命題．兩個(gè)簡(jiǎn)單命題通過(guò)“或”、“且”連接或在一個(gè)命題前加“非”組成新的命題，叫做復(fù)合命題．