19.如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°       

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求二面角的大�。�

（Ⅲ）求多面體PMABC的體積.

本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則，連結(jié)，

∵

∴

∵，∴  ∴

作于，連結(jié)，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

∵直線與直線所成的角為

∴

在中，由勾弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）因多面體就是四棱錐

∴

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，有

由直線與直線所成的角為，得

，即，解得

∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，得

取平面的法向量取為

則

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）同解法一

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，已知AC=PC=PM=1，BC=2，∠ACB=90°．
（1）求證：AC⊥BM；
（2）求證：平面ABM⊥平面ACM；
（3）求二面角M-AC-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC, 直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°      

 (1)求證：AC⊥BM;

 (2)求二面角M-AB-C的余弦值

（3求P到平面MAB的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年廣東省湛江二中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，已知AC=PC=PM=1，BC=2，∠ACB=90°．
（1）求證：AC⊥BM；
（2）求證：平面ABM⊥平面ACM；
（3）求二面角M-AC-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年重慶市西南師大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大��；
（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．

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