Question

（本小題滿分13分）
已知函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對于都有成立，試求的取值范圍；
（Ⅲ）記.當時，函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

解: (I) 直線的斜率為1.
函數的定義域為，
因為，所以，所以.
所以. .
由解得；由解得.
所以的單調增區(qū)間是,單調減區(qū)間是.  ……………………4分
(II) ，
由解得；由解得.
所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.
所以當時，函數取得最小值，.
因為對于都有成立，
所以即可.
則. 由解得.
所以的取值范圍是.                   ………………………………8分
(III)依題得，則.
由解得；由解得.
所以函數在區(qū)間為減函數，在區(qū)間為增函數.
又因為函數在區(qū)間上有兩個零點，所以
解得.
所以的取值范圍是.       ……………………………………13分

解析