(本小題滿分12分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn),,,曲線C上任意—點(diǎn)滿足:.
(l)求曲線C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn),過原點(diǎn)的直線L與曲線相交于M,N兩點(diǎn),若直線PM,PN的斜率都存在,并記為,.試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān),并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)曲線C與y軸交于D、E兩點(diǎn),點(diǎn)M (0,m)在線段DE上,點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動.若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)時,取得最小值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(l) (2) (3)
解析試題分析:(1)由題意可得,,
所以,
又,
所以,即.
(2)因為過原點(diǎn)的直線與橢圓相交的兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,
所以可設(shè).
因為在橢圓上,所以有
, ………①
, ………②
①-②得
.
又,,
所以,
故的值與點(diǎn)的位置無關(guān),與直線也無關(guān).
(3)由于在橢圓上運(yùn)動,橢圓方程為,故,且
. 因為,所以
.
由題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為時,取得最小值,即當(dāng)時,取得最
小值,而,故有,解得.
又橢圓與軸交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、,而點(diǎn)在線段上, 即,亦即,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
考點(diǎn):求動點(diǎn)的軌跡方程及橢圓與直線相交的性質(zhì)
點(diǎn)評:求軌跡方程的大體步驟:1建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo),2找到關(guān)于動點(diǎn)的關(guān)系式,3關(guān)系式坐標(biāo)化,整理化簡,4除去不滿足題意要求的個別點(diǎn)。本題第二三小題較復(fù)雜,學(xué)生很難達(dá)到滿分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題13分)在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)己知、、是橢圓:()上的三點(diǎn),其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,過橢圓的中心,且,。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線(斜率存在時)與橢圓交于兩點(diǎn),,設(shè)為橢圓與 軸負(fù)半軸的交點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點(diǎn),
且,.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問:是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓:的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,過作與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),且。
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足
為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,將一矩形花壇擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇,要求點(diǎn)在上, 點(diǎn)在上,且對角線過點(diǎn),已知米,米.
(1)要使矩形的面積大于32平方米,則的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當(dāng)的長度為多少時,矩形花壇的面積最。坎⑶蟪鲎钚≈.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
雙曲線的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,兩條漸近線分別為,經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn).已知成等差數(shù)列,且與同向.
(Ⅰ)求雙曲線的離心率;
(Ⅱ)設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分)
給定橢圓C:,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為,其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且軸,求的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作直線,使得與橢圓C都只有一個交點(diǎn),試判斷是否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓O:和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)向圓O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足
(1) 求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系;
(2) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時圓P的方程.
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