Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2 （Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤|x|+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，

當(dāng)x＜﹣ 時(shí)，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．

當(dāng)﹣ ≤x＜0時(shí)，由3x﹣1≥0，求得 x∈．

當(dāng)x≥0時(shí)，由x﹣1≥0，求得 x≥1．

綜上可得，不等式的解集為{x|x≤﹣3 或x≥1}．

（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解．

由于|x+ |﹣|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到﹣ 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離，故|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，

故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3

【解析】（Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，分類討論，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解．根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的范圍．