設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求證：x∈R時(shí)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
分析：（1）采用賦值法，令x=y=0，即可求得f（0）；
（2）對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），可求得f（x）=f2(
x
2
)≥0，進(jìn)一步可求得f（x）＞0，再利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
解答：解：（1）令x=y=0，f（0）=f2（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），故f（0）=1．
（2）由于f(x)=f2(
x
2
)≥0，假設(shè)存在t，使f（t）=0，則f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，與題設(shè)矛盾，所以f（x）＞0．
設(shè)x1＜x2，
f（x2）-f（x1）
=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x1）（f（x2-x1）-1）＞0，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查賦值法的運(yùn)用，考查反證法及函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關(guān)于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠
π
2
時(shí)，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當(dāng)x∈[-
π
2
，
π
2
]時(shí)，0＜f（x）＜1；當(dāng)x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時(shí)，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對(duì)任意的x都成立；②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m是常數(shù)）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則（　�。�
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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