Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x+a=0上存在兩點關于直線l：mx+y+1=0對稱． （I）求m的值；
（Ⅱ）直線l與圓C交于A，B兩點， =﹣3（O為坐標原點），求圓C的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）x2+y2+2x+a=0（x+1）2+y2=1﹣a，圓心（﹣1，0）．

∵圓C：x2+y2+2x+a=0上存在兩點關于直線l：mx+y+1=0對稱，∴直線過圓心，

∴﹣m+0+1=0m=1，

故m的值為1．

（II）設A（x1，y1），B（x2，y2）

=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1

2x2+4x+1+a=0，

根據韋達定理：x1+x2=﹣2；x1x2= ．

∴1+a﹣2+1=﹣3a=﹣3．

∴圓C的方程是：（x+1）2+y2=4．

【解析】（I）根據圓的對稱性判定直線過圓心，先求圓心坐標，再代入直線方程求解；（II）設A、B的坐標，根據向量坐標運算與韋達定理根與系數的關系求解即可．