Question

把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：
第一行有1個正整數(shù)，第二行有2個正整數(shù)，…，第i行共有2^i-1個正整數(shù)，設a_ij（i、j∈N*）是位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)（如a₃₂=5，a₄₄=11）．
（Ⅰ）求數(shù)表中第6行第5個數(shù)a₆₅；
（Ⅱ） 若a_ij=300，求i，j的值；
（Ⅲ）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求A_n．

Answer 1

解：（I）由于i第行有2^i-1個數(shù)，前5行共有1+2+4+8+16=31個數(shù)
所以第6行的第5個數(shù)是正整數(shù)的第36個數(shù)，所以a₆₅=36
（II）由于每行的第一個數(shù)分別為1，2，4，8，…構成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
每行又構成以1為公差，以2^i-1為首項的等差數(shù)列
所以第i行的第一個數(shù)a_i1=2^i-1，a_ij=2^i-1+j-1
而a₉₁=2⁸=256
所以300=a_9j=256+j-1，解得j=45
300應在第9行第45列，即i=9，j=45
（III）由（II）可得a_nn=2^n-1+n-1
所以A_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn
=（2⁰+0）+（2¹+1）+（2²+2）+…+（2^n-1+n-1）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（0+1+2+…+n-1）
=
分析：（I）根據(jù)已知條件可知每行的正整數(shù)的個數(shù)是等比數(shù)列，據(jù)此可先算出前5行的數(shù)分別為1，2，4，8，16總共31個，從而得到a₆₅=36
（II）觀察已知可得每行的第一個數(shù)是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，從而得a_i1=2^i-1，每列的數(shù)又構成了以1為公差的等差數(shù)列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根據(jù)該通項判斷300的位置
（III）利用（II）可得a_nn=2^n-1+n-1，該書列是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和構成的，用分組求和
點評：本題以表格的形式給出正整數(shù)的排序方式，其關鍵是由表中的排序觀察總結出每行的第一個數(shù)等比的規(guī)律及每行內的數(shù)成等差的規(guī)律，從而得出任意一個數(shù)的通項公式，結合通項的特點，又考查了分組求和的方法，從而培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現(xiàn)、總結規(guī)律的能力，綜合運用公式的能力．