【題目】已知函數(shù), , ,且的最小值為

(1)求的值;

(2)若不等式對任意恒成立,其中是自然對數(shù)的底數(shù),求的取值范圍;

(3)設(shè)曲線與曲線交于點,且兩曲線在點處的切線分別為, .試判斷 軸是否能圍成等腰三角形?若能,確定所圍成的等腰三角形的個數(shù);若不能,請說明理由.

【答案】(1).(2). (3), 軸能圍成2個等腰三角形.

【解析】試題分析:

(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可求得a=-2;

(2) 不等式即,構(gòu)造函數(shù)令,分類討論可得的取值范圍是

(3) 設(shè), 的傾斜角分別為 ,若 軸所圍成的三角形是等腰三角形,則. 分類討論: 兩種情況可得, 軸能圍成2個等腰三角形.

試題解析:

(1),所以,則的最小值為,

因此拋物線的對稱軸為,即,所以

(2)由(1)知, .不等式,

所以對任意恒成立.

,則

①若,則,所以函數(shù)上單調(diào)減,

,解得,

此時無符合題意的值; ②若,令,解得

列表如下:

極小值

由題意,可知 解得

的取值范圍為

(3)設(shè), 的傾斜角分別為 ,則,

因為,所以 ,則 均為銳角.

, 軸所圍成的三角形是等腰三角形,則

①當時, ,即,解得,

,即,

整理得, ,解得

所以存在唯一的滿足題意.

②當時,由可得

,即,

整理得,

,則

,解得.列表如下:

極小值

, , ,

所以內(nèi)有一個零點,也是上的唯一零點.

所以存在唯一的滿足題意.

綜上所述, , 軸能圍成2個等腰三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài),PM2.5被認為是造成霧霾天氣的“元兇”,PM2.5日均值越小,空氣質(zhì)量越好.國家環(huán)境標準設(shè)定的PM2.5日均值(微克/立方米)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如表:

PM2.5日均值
(微克/立方米)

0﹣﹣35

35﹣﹣75

75﹣﹣115

115﹣﹣150

150﹣﹣250

250以上

空氣質(zhì)量等級

1級
優(yōu)

2級

3級
輕度污染

4級
中度污染

5級
重度污染

6級
嚴重污染

由某市城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得4月份某5天甲、乙兩城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù),用莖葉圖表示,如圖所示.

(1)試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),分別寫出兩城區(qū)的PM2.5日均值的中位數(shù),并從中位數(shù)角度判斷哪個城區(qū)的空氣質(zhì)量較好?
(2)考慮用頻率估計概率的方法,試根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計甲城區(qū)某一天空氣質(zhì)量等級為3
(3)分別從甲、乙兩個城區(qū)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個,試求這兩城區(qū)空氣質(zhì)量等級相同的概率.

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【題目】| |=1,| |= , =0,點C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,設(shè) =m +n (m、n∈R),則 等于( )
A.
B.3
C.
D.

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【題目】(理)如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論:
+ + + =
+ = ;
+ =
= ;
=0,
其中正確結(jié)論是(

A.①②③
B.④⑤
C.②④
D.③④

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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.

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(2)設(shè)過點 的直線 (不與坐標軸垂直)與橢圓交于 兩點,問:在 軸上是否存在定點 ,使得 為定值?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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