Question

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（1﹣x）=f（x），（x﹣ ）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，則有（ ）
A.f（x1）＜f（x2）
B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2）
D.不能確定

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（1﹣x）=f（x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x= 對(duì)稱．
∵（x﹣ ）f′（x）＞0，∴當(dāng)x 時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)x 時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減．
①若 ，∵函數(shù)f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞增，∴f（x2）＞f（x1）．
②若 ，又x1+x2＞1，∴ ，∴f（x2）＞f（1﹣x1）=f（x1）．
綜上可知：f（x2）＞f（x1）．
故選A．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．