Question

設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，過(guò)橢圓外一點(diǎn)M（0，2）作直線l交橢圓與A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積最大值為，求此橢圓方程和直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：由于，所以設(shè)橢圓方程為：，設(shè)直線l方程為：y=kx+2，兩者聯(lián)立，又借助于△AOB的面積最大值為，可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0，從而，故問(wèn)題得解．
解答：解：∵，∴可設(shè)橢圓方程為：，顯然直線l的斜率存在，
設(shè)直線l方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…1'
由消去y整理，得（1+2k²）x²+8kx+8-2c²=0，
由韋達(dá)定理得，
∴
可化得：4S²k⁴+（4S²-16c²）k²+S²-8c²+32=0（*）…8'
∵k²有解，∴△=（4S²-16c²）²-4×4S²×（S²-8c²+32）≥0，
解得，…10'
∴，∴c²=2，將c²=2，代入（*）得，…13'
綜上所述，橢圓方程為：，直線l的方程為：，…14'
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個(gè)重點(diǎn)，每年必考．一般都是聯(lián)立直線與圓錐曲線方程消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，再結(jié)合題意來(lái)解．