Question

已知橢圓+=1（0＜b＜2）的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F、B、C作圓P．
（I）當b=時，求圓P的方程；
（II）直線AB與圓P能否相切？證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）設F、B、C的坐標分別為（-c，0），（0，b），（2，0），則FC、BC的中垂線分別為，
聯立兩方程，解得x=，y=，即P（，）
∴b=時，圓心坐標為（，），半徑PC=
∴圓P方程為（x-）²+（y-）²=…（6分）
（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切．…（7分）
理由如下：因為，k_PB=
如果直線AB與圓P相切，則…（10分）
解得c=0或4，
又c²=4-b²∈（0，4），∴c∈（0，2），
而0，4∉（0，2），所以直線AB與圓P不能相切．…（13分）
分析：（Ⅰ）求出FC、BC的中垂線方程，聯立兩方程，解得P的坐標，根據b=，確定圓心坐標與半徑，即可得到圓P方程；（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切，用反證法，如果直線AB與圓P相切，求得c=0或4，與c∈（0，2）矛盾，故可得結論．
點評：本題考查解析幾何綜合題，能夠強化學生對圓、橢圓有關知識的理解，考查計算能力，訓練學生對平面解析幾何相關知識的認識．中等題．