Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）滿足：y極小值=1，y極大值=，試求f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上的任意一點(diǎn)處的切線斜率k滿足：|k|≤1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=-x3+x2+1；（2）

【解析】

（1）由（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=,易求出函數(shù)取極值時(shí)x的值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程后即可求出函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知|k|=|f′（x）|≤1在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來(lái)，使之恒成立即可求出a的范圍．

（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．

a＞0時(shí)，x變化時(shí)f'（x），f（x）變化如下表：

所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；

（2）由題設(shè)x∈[0，1]時(shí)，恒有|k|=|f′（x）|≤1，

即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由-3x2+2ax≥-1恒成立，即2ax≥3x2-1，

y=在（0，1]上為增函數(shù)

所以a≥1

另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，取最值）．

綜上所述：．