Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（＞b＞0），將圓心在原點(diǎn)O、半徑是

a2+b2

的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1．
（Ⅰ）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，求l₁，l₂的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求

AB

•

AD

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由準(zhǔn)圓定義求出橢圓C的準(zhǔn)圓方程，取x=0得到P點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可知l₁，l₂的斜率存在，設(shè)出過P點(diǎn)的直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0求解直線的斜率，則l₁，l₂的方程可求；
（Ⅱ）由題意可知：B，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，設(shè)出B，D的坐標(biāo)，代入橢圓方程后得到B點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，寫出向量

AB

，

AD

的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式后化為關(guān)于B點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，由B點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍求解

AB

•

AD

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1．
得其“準(zhǔn)圓”方程為x²+y²=4．
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∵直線l過P且與橢圓C只有一個交點(diǎn)，
則直線l的方程可設(shè)為y=kx+2，將其代入橢圓方程可得：
x²+3（kx+2）²=3，即（3k²+1）x²+12kx+9=0．
由△=（12k）²-36（3k²+1）=0，解得k=±1，
∴直線l₁ 的方程為y=x+2，l₂ 的方程為y=-x+2，
或直線l₁ 的方程為y=-x+2，l₂ 的方程為y=x+2；
（Ⅱ）如圖，
由題意可設(shè)B（m，n），D（m，-n）（-

3

＜m＜

3

），
則有

m2

3

+n2=1，
又點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），故

AB

=(m-2，n)，

AD

=(m-2，-n)．
故

AB

•

AD

=(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-

m2

3

)
=

4

3

m2-4m+3=

4

3

(m-

3

2

)2．
又-

3

＜m＜

3

，
故

4

3

(m-

3

2

)2∈[0，7+4

3

)．
∴

AB

•

AD

的取值范圍是[0，7+4

3

）．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，方法是聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用整理后的一元二次方程的判別式求解．
此題屬中高檔題．