【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD⊥平面PAB.
(1)求證:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
( 1)由題設(shè)條件,易證得PC⊥AB,CD⊥AB,故可由線面垂直的判定定理證得AB⊥平面PCB;(2)由圖形知,取AP的中點(diǎn)O,連接CO、DO,可證得∠COD為二面角C﹣PA﹣B的平面角,在△CDO中求∠COD即可.
(1)證明:∵PC⊥平面ABC,AB平面ABC,
∴PC⊥AB.
∵CD⊥平面PAB,AB平面PAB,
∴CD⊥AB.又PC∩CD=C,∴AB⊥平面PCB.
(2)取AP的中點(diǎn)O,連接CO、DO.
∵PC=AC=2,∴CO⊥PA,CO,
∵CD⊥平面PAB,由三垂線定理的逆定理,得DO⊥PA.
∴∠COD為二面角C﹣PA﹣B的平面角.
由(1)AB⊥平面PCB,∴AB⊥BC,
又∵AB=BC,AC=2,求得BC
PB,CD
∴
cos∠COD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)對(duì)年銷售量(單位:t)的影響.該公司對(duì)近5年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x(萬(wàn)元)和年銷售量y(單位:t)具有線性相關(guān)關(guān)系,并對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為,根據(jù)(1)中的結(jié)果回答下列問(wèn)題:
①當(dāng)年宣傳費(fèi)為10萬(wàn)元時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
②估算該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi),才能使得年利潤(rùn)與年宣傳費(fèi)的比值最大.
附:回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,等腰中,,,點(diǎn),,為線段的四等分點(diǎn),且.現(xiàn)沿,,折疊成圖2所示的幾何體,使.
(圖1)
(圖2)
(1)證明:平面;
(2)求幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線的方程為,曲線的方程為.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線與軸相交于點(diǎn),與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬(wàn)人
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在底面為正方形的四棱錐中,平面,點(diǎn),分別在棱,上,且滿足,.
(1)證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且,圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
(3)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),有一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)年利率為的連續(xù)復(fù)利,要在年后達(dá)到本利和,則現(xiàn)在投資值為,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).如果項(xiàng)目的投資年利率為的連續(xù)復(fù)利.
(1)現(xiàn)在投資5萬(wàn)元,寫(xiě)出滿年的本利和,并求滿10年的本利和;(精確到0.1萬(wàn)元)
(2)一個(gè)家庭為剛出生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金,若每年初一次性給項(xiàng)目投資2萬(wàn)元,那么,至少滿多少年基金共有本利和超過(guò)一百萬(wàn)元?(精確到1年)
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