Question

若x，y是正數(shù)，則(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是（　�。�

• A、3
• B、

  7

  2

• C、4
• D、

  9

  2

Answer 1

分析：連續(xù)用基本不等式求最小值，由題設(shè)知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（x+

1

2y

）×（y+

1

2x

）整理得知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），其中等號成立的條件是x=y，又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1等號成立的條件是xy=

1

4xy

與x=y聯(lián)立得兩次運(yùn)用基本不等式等號成立的條件是x=y=

2

2

，計(jì)算出最值是4

解答：解：∵x，y是正數(shù)，
∴(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），
等號成立的條件是x+

1

2y

=y+

1

2x

，
解得x=y，①
又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1
等號成立的條件是xy=

1

4xy

②
由①②聯(lián)立解得x=y=

2

2

，
即當(dāng)x=y=

2

2

時(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是4
故應(yīng)選C．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式，解題過程中兩次運(yùn)用基本不等式，注意驗(yàn)證兩次運(yùn)用基本不等式時等號成立的條件是否相同，若相同時，代數(shù)式才能取到計(jì)算出的最小值，否則最小值取不到．本題是一道易錯題．