Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(－x2＋x－1)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線；

(2)若方程f(x)＝x3＋x2＋m有3個不同的根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)因為f(x)＝(－x2＋x－1)ex，

所以f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex.

所以曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為

k＝f′(1)＝－2e.

又f(1)＝－e，

所以所求切線方程為y＋e＝－2e(x－1)，即2ex＋y－e＝0.

(2)因為f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(－x2＋x－1)ex＝(－x2－x)ex，

當x<－1或x>0時，f′(x)<0；

當－1<x<0時，f′(x)>0，

所以f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1,0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以f(x)在x＝－1處取得極小值f(－1)＝－，在x＝0處取得極大值f(0)＝－1.

令g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.

當x<－1或x>0時，g′(x)>0；

當－1<x<0時，g′(x)<0，

所以g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

故g(x)在x＝－1處取得極大值g(－1)＝＋m，在x＝0處取得極小值g(0)＝m.

因為方程f(x)＝x3＋x2＋m有3個不同的根，

即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有3個不同的交點，

所以，即.

所以－－<m<－1.