Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差依次組成首項(xiàng)為2且公比為q（q＞0）的等比數(shù)列．
（1）當(dāng)q=1時(shí)，證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若q=2，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）令bn=

an+1

an

，若對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＜b_n，求q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)q=1時(shí)，由題意得，a_n+1-a_n=2（常數(shù)），根據(jù)等差數(shù)列的定義可作出判斷；
（2）當(dāng)q=2時(shí)，a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加法可求得a_n，先分組求和，再用錯(cuò)位相減法可求得S_n；
（3）當(dāng)q=1時(shí)，易判斷；當(dāng)q≠1時(shí)，an+1-an=2qn-1（q＞0），利用累加法可求得a_n，從而可表示出b_n，b_n+1，由b_n+1＜b_n可得q的范圍；

解答：解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，由題意得，a_n+1-a_n=2（常數(shù)），
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；
（2）當(dāng)q=2時(shí)，a_n+1-a_n=2ⁿ，
則n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1適合上式，
所以an=2n-1（n∈N*），
則S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n
=（2-1）+2×（2²-1）+3×（2³-1）+…+n（2ⁿ-1）
=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令T=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
則2T=2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
相減得，-T=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

；
（3）當(dāng)q=1時(shí)，由（1）得a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
bn=

an+1

an

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

，bn+1=

2n+3

2n+1

=1+

2

2n+1

，
滿(mǎn)足b_n+1＜b_n；
當(dāng)q≠1時(shí)，an+1-an=2qn-1（q＞0），
則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2q+…+2q^n-2=1+2•

1-qn-1

1-q

=

3-q-2qn-1

1-q

（n≥2），
n=1時(shí)，a₁=1適合，
所以a_n=

3-q-2qn-1

1-q

，bn=

an+1

an

=

3-q-2qn

3-q-2qn-1

，
∵b_n+1＜b_n，∴

3-q-2qn+1

3-q-2qn

＜

3-q-2qn

3-q-2qn-1

，解得0＜q＜3，且q≠1，
綜上，0＜q＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．