Question

【題目】已知．

（1）討論時，的單調(diào)性、極值；

（2）求證：在(1)的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)a，使的最小值是3，如果存在，求出a的值；若不存在，

請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 當時單調(diào)遞減；當時，此時單調(diào)遞增；

的極小值為；

(2) 證明過程見詳解；

(3)存在實數(shù)，使得當時，有最小值3．

【解析】

(1) 先對函數(shù)求導(dǎo)，得到∵，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進而可求出極值；

(2) 先由（1）求出；再令，用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性，求出的最大值，進而可證明結(jié)論成立；

(3) 先假設(shè)存在實數(shù)a，使有最小值3，用分類討論的思想，分別討論 ，兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)果.

(1) ∵

∴ 當時，單調(diào)遞減；

當時，，此時單調(diào)遞增；

∴的極小值為；

(2) 因為的極小值即在上的最小值為1，

所以；

令

又∵

∴ 當時，；

∴上單調(diào)遞減；

∴

∴ 當時，；

(3) 假設(shè)存在實數(shù)a，使有最小值3，

①當時，由于，則；

∴ 函數(shù)是上的增函數(shù)，

∴，（舍去）

②當時，則當時，，此時是增函數(shù)；

當，，此時是增函數(shù)；

∴，解得；

由①、②知，存在實數(shù)，使得當時，有最小值3．