Question

以下命題正確的為

1. A.
   有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
2. B.
   有一個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
3. C.
   底面是正多形的棱錐是正棱錐
4. D.
   正棱錐各側(cè)面與底面所成的二面角不一定都相等

Answer 1

A
分析：根據(jù)直棱柱的定義，結(jié)合直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，可以證明出A項(xiàng)是正確的．再分別說(shuō)明其它各項(xiàng)的錯(cuò)誤原因：根據(jù)直棱柱的定義與性質(zhì)，舉出反例可以說(shuō)明B項(xiàng)是錯(cuò)誤的；根據(jù)正棱錐的定義，舉出反可以例說(shuō)明C項(xiàng)是錯(cuò)誤的；最后根據(jù)正棱錐的定義與性質(zhì)，可證出各側(cè)面與底面所成角的正弦相等，從而得到各側(cè)面與底面所成的二面角相等，所以
D項(xiàng)錯(cuò)誤．
解答：對(duì)于A(yíng)，如圖，設(shè)四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若側(cè)面ABB₁A₁和BCC₁B₁都矩形，則
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥CB，AB∩BC=B，AB、BC?底面ABCD
∴BB₁⊥底面ABCD
可得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直棱柱，故A正確；
對(duì)于B，如果棱柱只有一個(gè)側(cè)面是矩形，而其它的側(cè)面不是矩形，
則這個(gè)棱柱就不是直棱柱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若棱錐底面是正多形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面正多邊形的中心，則不符合正棱錐的定義，因此這個(gè)棱錐不是正棱錐，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若一個(gè)棱錐是正棱錐，則它的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心，
作出正棱錐一個(gè)側(cè)面等腰三角形的高，
則這個(gè)側(cè)面與底面所成角的正弦值等于正棱錐的高與側(cè)面等腰三角形的高的比值，
由于正棱錐各個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，所以各側(cè)面與底面所成角的正弦相等，
因?yàn)楦鱾?cè)面與底面所成的二面角是銳角，故正棱錐各側(cè)面與底面所成的二面角相等
故D錯(cuò)誤．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷與應(yīng)用為載體，著重考查了直棱柱、正棱錐的定義與性質(zhì)，考查了基本概念的理解與空間想象力，屬于基礎(chǔ)題．