【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2 , g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(其中max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A﹣B=( )
A.a2﹣2a﹣16
B.a2+2a﹣16
C.﹣16
D.16
【答案】C
【解析】解:f(x)=g(x),
即x2﹣2(a+2)x+a2=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8,
即x2﹣2ax+a2﹣4=0,
解得x=a+2或x=a﹣2.
f(x)與g(x)的圖象如圖.
由圖象及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a+2),
H2(x)的最大值為g(a﹣2),
A﹣B=f(a+2)﹣g(a﹣2)
=(a+2)2﹣2(a+2)2+a2+(a﹣2)2﹣2(a﹣2)2+a2﹣8=﹣16.
解法二:令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.
①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此時f(x)=g(x);
②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此時f(x)>g(x);
③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此時f(x)<g(x).
綜上可知:(I)當x≤a﹣2時,則H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,
(II)當a﹣2≤x≤a+2時,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);
(III)當x≥a+2時,則H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),
H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),
故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.
故選C.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的值滿足f(x)<0,對任意實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(﹣1)=1,f(27)=9,當0<x<1時,f(x)∈(0,1).
(1)求f(1)的值,判斷f(x)的奇偶性并證明;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤ ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年出現(xiàn)各種食品問題,食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病.為了解三高疾病是否與性別有關(guān),醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合計 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合計 | 36 |
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式 ,其中 )
(1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整;若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽 人,其中女性抽多少人?
(2)為了研究三高疾病是否與性別有關(guān),請計算出統(tǒng)計量 ,并說明你有多大的把握認為三高疾病與性別有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某市學(xué)生百米運動成績,從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機抽取50名學(xué)生進行百米測試,測試成績?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組,第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)設(shè)m,n表示樣本中兩個學(xué)生的百米測試成績,已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m-n|>2”的概率;
(2)根據(jù)有關(guān)規(guī)定,成績小于16秒為達標.
如果男女生使用相同的達標標準,則男女生達標情況如附表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“體育達標與性別有關(guān)”?若有,你能否提出一個更好的解決方法來?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐A-BOC中,OA⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=,動點D在線段AB上.
(1)求證:平面COD⊥平面AOB;
(2)當OD⊥AB時,求三棱錐C-OBD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=600m,一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知|AB|=1km,水流速度為2km/h, 若客船行駛完航程所用最短時間為6分鐘,則客船在靜水中的速度大小為( )
A.8km/h
B.km/h
C.km/h
D.10km/h
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數(shù)),x∈R,
(1)若f(﹣1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求F(x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,當x∈[﹣2,2]時,g(x)=f(x)﹣kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)mn<0,m+n>0,a>0且f(x)為偶函數(shù),判斷F(m)+F(n)能否大于零.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級工作 | 不太主動參加班級工作 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
參考公式及數(shù)據(jù):
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系?并說明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù).
(1)求的極值;
(2)當在什么范圍內(nèi)取值時,曲線與軸僅有一個交點?
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