Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lg|x|}|，x≠0}\\{1，x=0}\end{array}}$，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有9個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．   
（1）求a+b的值；    
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=t，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象判斷f（x）=t的解的個(gè)數(shù)，得出t=1為方程t²+at+b=0的解．
（2）當(dāng)f（x）=t，t＞0且t≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有9個(gè)不同實(shí)數(shù)解，據(jù)此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)f（x）=t，則當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=t有5個(gè)解，當(dāng)t≠1時(shí)，f（x）=t有4個(gè)解．
∵關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有9個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴關(guān)于t的方程t²+at+b=0有兩解，且t=1是其中一解，
∴1+a+b=0，即a+b=-1．
（2）當(dāng)f（x）=t，t＞0且t≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有9個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴t²+at-1-a=0，
∴a=-1-t，∵t＞0且t≠1，
∴a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．屬于中檔題．